Soal dan Pembahasan Perbedaan Tiga Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Soal:

Aktivitas ini bertujuan menganalisis perbedaan tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat dikaitkan dengan grafiknya. Perhatikan tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat berikut.

Bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c

Bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q

Bentuk 3: f(x) = a(x - m)(x - n)

1. Gambarlah beberapa grafik untuk masing-masing bentuk !

2. Pada bentuk 1, apakah yang direpresentasikan nilai c ?

3. Pada bentuk 2, apakah yang direpresentasikan nilai p dan q ?

4. Pada bentuk 3, apakah yang direpresentasikan nilai m dan n ?

5. Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di (2,0) dan (5,0)  dan memotong sumbu y di (0,−20). Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

6. Suatu grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (4,−6) dengan salah satu titik potong sumbu x  adalah (8,0). Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

7. Suatu grafik fungsi kuadrat adalah grafik f(x) = 3x² + 6x yang digeser ke bawah tanpa mengubah sumbu simetrinya sehingga f(2) = 5 .  Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

Jawaban:

1. Gambar beberapa grafik untuk masing-masing bentuk:

a.1. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 2,  c = 3

     a.2. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = -1 , b = 2,  c = 2

a.3. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 3,  c = 1

a.4. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 3,  c = -1

b.1. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = 1 , p = 2,  q = 1

b.2. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = -1 , p = 2,  q = 3

b.3. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = -1 , p = -2,  q = 3

b.4. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = 3 , p = -2,  q = 1

c.1. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = 2,  n = 5

c.2. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = 1,  n = 4

c.3. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = -1,  n = 2

c.4. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = -1 , m = -1,  n = 2

2. Pada bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c, yang direpresentasikan nilai c adalah menunjukkan koordinat perpotongan grafik terhadap sumbu y.

3. Pada bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q, yang direpresentasikan nilai p dan q adalah menunjukkan koordinat titik puncak atau nilai minimum/maksimum dari sebuah grafik.

4. Pada bentuk 3: f(x) = a(x - m)(x - n), yang direpresentasikan nilai m dan n adalah menunjukkan koordinat perpotongan grafik pada sumbu x atau merupakan akar dari persamaan kuadrat.

5. Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di (2,0) dan (5,0)  dan memotong sumbu y di (0,−20). Dari yang diketahui tersebut, bentuk yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya adalah bentuk ke-3:  f(x) = a(x - m)(x - n)

f(x) = a(x - 2)(x - 5)

f(x) = a(x² - 7x + 10)

f(x) = a(x² - 7x + 10)

karena grafik memotong sumbu y di (0,-20) maka x = 0 dan y = -20

x = 0 dan y = -20,    disubstitusikan ke persamaan     f(x) = a(x² - 7x + 10), sehingga

-20 = a((0)²-7(0) + 10)

-20 = 10a

a = -2   ......   disubtitusikan ke persamaan    f(x) = a(x² - 7x + 10)

f(x) = -2(x² - 7x + 10)

f(x) = -2x² +14x - 20

Jadi fungsi tersebut adalah f(x) = -2x² +14x - 20

6. Suatu grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (4,−6) dengan salah satu titik potong sumbu x  adalah (8,0). Dari yang diketahui ini, bentuk yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya adalah bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q

titik puncak (4,−6) yang berarti p = 4 dan q = -6

f(x) = a(x - p)² + q

    0 = a (8 - 4)² + (-6)

    0 = a (4)² + (-6)

    0 = a (4)² + (-6)

   16a = 6

      a = 3/8        .......... substitusikan ke persamaan f(x) = a(x - p)² + q

f(x) = 3/8(x - 4)² + (-6)

f(x) = 3/8(x² - 8x + 16) + (-6)

f(x) = 3/8x² - 3x + 6 + (-6)

f(x) = 3/8x² -3x atau f(x) = 0,375 x² -3x

 Jadi fungsi tersebut adalah f(x) = 3/8x² -3x atau f(x) = 0,375 x² -3x

7. Suatu grafik fungsi kuadrat adalah grafik f(x) = 3x² + 6x yang digeser ke bawah tanpa mengubah sumbu simetrinya sehingga f(2) = 5 .  Untuk menentukan model fungsi kuadratnya yang tepat adalah bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c

      f(x) = 3x² + 6x + c

     

      f(2) = 3(2)² + 6(2) + c

         5  = 3(4) + 12 + c

         5 = 12 +12 + c

         c = 5 - 24

         c = -19    ....... substitusikan ke persamaan f(x) = 3x² + 6x + c

      f(x) = 3x² + 6x – 19

Jadi fungsi tersebut adalah  f(x) = 3x² + 6x